\chapter{1750年,欧拉-伯努利梁方程的原始推导与后世发展}
	
	\begin{abstract}
		本文系统考察了1750年由莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)和雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)、丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）建立的弹性梁理论。通过分析欧拉《弹性曲线研究》(1744)和伯努利手稿中的原始推导，揭示了"平截面假定"和弯矩-曲率关系的建立过程。研究表明，该理论经历了三个关键发展阶段：① 18世纪几何力学推导 ② 19世纪纳维等人的材料本构关系引入 ③ 20世纪铁木辛柯(Timoshenko)剪切修正。现代有限元分析验证了该方程在$\lambda/L>20$（长细比）时的有效性，其简化形式$\mathrm{EI}\frac{d^4w}{dx^4}=q(x)$仍是土木工程的核心设计方程。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	欧拉-伯努利梁理论是结构力学的基础，其核心方程为：
	\begin{equation}
		\frac{M}{I} = \frac{\sigma}{y} = E\frac{d^2w}{dx^2}
	\end{equation}
	该理论最初由雅各布·伯努利在1694年提出曲率-弯矩比例猜想，后由欧拉在1744年完善数学形式\cite{Euler1744}。
	
	\section{原始推导(1694-1750)}
	\subsection{伯努利的曲率假设(1694)}
	雅各布·伯努利在《弹性曲线》手稿中提出：
	\begin{equation}
		M \propto \frac{1}{R}
	\end{equation}
	其中$R$为曲率半径，但未明确比例常数。
	
	\subsection{欧拉的微分方程(1744)}
	欧拉在《弹性曲线研究》中建立平衡关系（图\ref{fig:beam}）：
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Euler_beam}
		\caption{欧拉分析的微梁段受力}
		\label{fig:beam}
	\end{figure}
	
	通过力矩平衡得到：
	\begin{equation}
		\frac{d^2\theta}{ds^2} + \frac{P}{EI}\sin\theta = 0
	\end{equation}
	其中$s$为弧长，$P$为轴向载荷。小变形时($\theta \approx dw/dx$)简化为：
	\begin{equation}
		EI\frac{d^4w}{dx^4} = q(x)
	\end{equation}
	
	\section{变形示意图}

		\begin{tikzpicture}[scale=1.8,>=Latex,
			beam/.style={thick,decorate,decoration={snake,amplitude=0.5mm}},
			dimline/.style={<->,shorten <=-2pt,shorten >=-2pt}]
			
			% 主坐标系
			\draw[->] (-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
			\draw[->] (0,-1.5) -- (0,3) node[left]{$y$};
			
			% 梁变形曲线
			\draw[beam] (0.5,0) .. controls (1.5,0.8) and (3,-0.6) .. (4.5,0);
			\node at (2.5,-0.9) {中性轴 $y(x)$};
			
			% 微段放大框
			\draw[dashed] (1.7,0.3) rectangle (3.3,-0.3);
			\draw[->,shorten >=2pt] (2.5,-0.3) -- (2.5,-1.2);
			
			% 微段放大图 (局部坐标系)
			\begin{scope}[shift={(2.5,-3)},scale=1.5]
				\fill[gray!10] (-1,0.2) rectangle (1,-0.2);
				\draw[thick] (-1,0) -- (1,0);
				
				% 截面应变分布
				\foreach \x in {-0.8,-0.4,0,0.4,0.8} {
					\draw[->,red] (\x,0) -- (\x,{0.3*\x});
					\draw[->,red] (\x,0) -- (\x,{-0.3*\x});
				}
				\node[red,right] at (0.8,0.25) {$\epsilon_x = -\kappa y = -\frac{y}{\rho}$};
				
				% 受力标注
				\draw[->,blue] (-1,0.3) -- (-0.5,0.3) node[above]{$M$};
				\draw[<-,blue] (1,0.3) -- (0.5,0.3) node[above]{$M+dM$};
				\draw[->,green!50!black] (-0.8,-0.3) -- (-0.8,-0.8) node[below]{$q(x)dx$};
				\draw[->,orange] (-1,0.2) -- (-1,0.6) node[left]{$Q$};
				\draw[<-,orange] (1,0.2) -- (1,0.6) node[right]{$Q+dQ$};
				
				% 曲率半径标注（修正部分）
				\draw (0,-1) arc (-90:-70:2);
				\draw[dimline] (0,-1) -- node[below]{$R=\dfrac{1}{\kappa}=\rho$} ($(0,-1)+(20:2)$);
				
				% 本构关系
				\node[align=left,anchor=west] at (1.2,0) {
					$\begin{aligned}
						\kappa &= \frac{1}{\rho} = \frac{d^2y/dx^2}{[1+(dy/dx)^2]^{3/2}} \\
						&\approx \frac{d^2y}{dx^2} \quad (\text{小变形}) \\
						M &= EI\kappa = \frac{EI}{\rho}
					\end{aligned}$
				};
			\end{scope}
			
			% 图注（增加曲率说明）
			\node[align=left,anchor=north west] at (0,3) {
				\textbf{欧拉梁微段分析} (1744)\\
				曲率定义: $\kappa = \dfrac{1}{R} = \dfrac{d\theta}{ds}$\\
				几何关系: $\rho = R = \dfrac{1}{\kappa}$\\
				弯矩-曲率: $M = EI\kappa = \dfrac{EI}{\rho}$
			};
		\end{tikzpicture}

	\section{插图}
		\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=Stealth]
			% 坐标系
			\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
			\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above]{$y$};
			
			% 梁轴线
			\draw[thick] (0.5,1.5) .. controls (2.5,1.8) and (3.5,1.2) .. (4.5,1.5);
			\node at (2.5,1) {弹性曲线 $y(x)$};
			
			% 微梁段
			\draw[fill=gray!20] (1.8,1.55) rectangle (2.8,1.65);
			\draw[dashed] (1.8,1.6) -- (1.8,0.5);
			\draw[dashed] (2.8,1.6) -- (2.8,0.5);
			\node at (1.8,0.3) {$x$};
			\node at (2.8,0.3) {$x+dx$};
			
			% 受力标注
			\draw[->,red] (1.8,1.6) -- (1.8,2.3) node[above]{$Q$};
			\draw[->,red] (2.8,1.6) -- (2.8,2.1) node[above]{$Q+dQ$};
			\draw[->,blue] (1.8,1.6) -- (1.3,1.6) node[left]{$M$};
			\draw[->,blue] (2.8,1.6) -- (3.3,1.6) node[right]{$M+dM$};
			
			% 分布载荷
			\foreach \x in {1.9,2.1,2.3,2.5,2.7}
			\draw[->,green!50!black] (\x,1.65) -- (\x,1.9);
			\node[green!50!black] at (2.3,2) {$q(x)$};
			
			% 曲率半径
			\draw (2.3,1.6) circle (0.5);
			\draw[<->] (2.3,1.1) -- node[below]{$R$} (2.8,1.1);
			
			% 图注
			\node[align=left] at (3.5,3) {
				欧拉微梁段受力分析\\
				{\color{red}红色}: 剪力\\
				{\color{blue}蓝色}: 弯矩\\
				{\color{green!50!black}绿色}: 分布载荷
			};
		\end{tikzpicture}
	
	\section{关键理论突破}
	\subsection{纳维的本构关系(1826)}
	纳维(Claude-Louis Navier)引入胡克定律：
	\begin{equation}
		\sigma = E\epsilon \Rightarrow M = -EI\frac{d^2w}{dx^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{铁木辛柯剪切修正(1922)}
	铁木辛柯(Stephen Timoshenko)添加剪切变形项：
	\begin{equation}
		\gamma = \frac{dw}{dx} - \phi \quad \text{和} \quad \kappa = \frac{d\phi}{dx}
	\end{equation}
	得到改进方程：
	\begin{equation}
		\rho A\frac{\partial^2w}{\partial t^2} = q + \kappa'GA\left(\frac{\partial\phi}{\partial x} - \frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)
	\end{equation}
	
	\section{现代发展}
	\subsection{数值方法应用}
	有限元离散形式：
	\begin{equation}
		[K]\{d\} = \{F\}, \quad K_{ij} = \int_0^L EI\frac{d^2N_i}{dx^2}\frac{d^2N_j}{dx^2}dx
	\end{equation}
	其中$N_i$为Hermite形函数。
	
	\subsection{实验验证}
	激光测振仪数据表明，当$\lambda/L<5$时需采用Timoshenko模型（图\ref{fig:error}）：
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{error_compare}
		\caption{两种理论误差对比}
		\label{fig:error}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	欧拉-伯努利梁理论的发展历程表明：
	\begin{itemize}
		\item 原始形式在细长梁($L/h>10$)中误差<5\%
		\item Timoshenko修正使适用扩展到$L/h>3$
		\item 现代计算力学仍以该理论为基准模型
	\end{itemize}
	
	\bibliographystyle{unsrt}
	\bibliography{beam_refs}
